群的定义要求满足以下4个前提:

  • 封闭律:对于任意ai,aj属于G,ai+aj属于G
  • 结合律:对于任意ai,aj,ak属于G,(ai+aj)+ak=ai+(aj+ak)
  • 单位元:存在e属于G,ai+e=e+ai=ai
  • 可逆律:存在ai,aj属于G,ai+aj=aj+ai=e

参照基础知识的矩阵定义,如果矩阵中的element被fully定义后,他们能满足以上四个条件,我们就称之为群。

如果仅满足封闭率和结合率,称之为半群。

如果仅满足封闭率,结合律和单位元,称之为含1半群。

如果四个条件都满足,那么就称之为群。

另外,如果这个矩阵的element,还满足另外一个条件:

  • 交换率:ai+aj=aj+ai

那么称之为交换群/Abel群。

  1. 群定义summary:
    • elements:         有限或无限
    • actions:            仅一种+
    • element矩阵:    4个前提———封闭,结合,单位元,可逆
  2. Abel群
    • element矩阵:   在4个前提上再加一个交换率

图示为

image

带圆圈是叶子节点,其余为中间节点。

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