环R建立在群的基础上,和群G不同点在于

  1. 群G仅定义了一种运算矩阵+,而环定义了两种运算矩阵+和*
  2. 对于+,要求它是Able群,即满足5个前提(封闭,结合,单位元0,可逆,交换)
  3. 对于*,要求弱一些,仅要求是个半群,即满足2个前提(封闭,结合)
  4. 对于+和*,要求分配律成立,即
    • ai*(aj+ak)=ai*aj+ai*ak
    • (aj+ak)*ai=aj*ai+ak*ai

这样,我们就定义了环。以下是一些其他环

  1. 含1环,如果对于*,R满足3个前提(封闭,结合,单位元
  2. 交换环,如果对于*,R满足3个前提(封闭,结合,交换

用图表示如下

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