圣诞来了,闲着无事,把以前的代数笔记拿来翻翻,复习一下群环域等概念,希望有一个直观的理解。

抽象代数研究的对象是:objects(名词)和action(动词)。

这里的objects是个虚词,它可以是任何东西(有限的或无限的),当然,如果这些object如果是相互独立的,没有任何关联,也就没啥好玩的,所以会给它们加一些rules,这些rules通过动词将objects相互关联。并且rules也是逐级增强的。

我们先从基本知识谈起。

object:a1,a2,。。。。。an
action:+
这里action用符号+来表示,它仅仅是个代号而已;objects是个集合,用G表示,可以是无限或有限;这里假设n=7
objects可以两两通过+相互操作,举例见下表;
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可见,这里可以用一张矩阵来表示这些objects和它们两两相互操作的结果。

这里假设如果i=3,j=4,那么ai+aj表示为下左图,而aj+ai表示为下右图:

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所有关于抽象代数的故事,其实就是关于矩阵(也许不止一个)及其变化的故事。这些故事均是基于以下基本facts:

  1. 封闭率
    封闭率的意思就是ai+aj一定属于G,直观地用矩阵表示就是ai+aj一定落在row或column上,对应于n=7的例子就是ai+aj不能出来一个a8,0<i,j<8
    这条基本规则,其实给了我们在[a1..an]中自由定义这个矩阵的能力。
  2. 结合律:ai+(aj+ak)=(ai+aj)+ak
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    Generalize a2和a4后,就是对于任意行ai和列ak,用aj遍历[a1..an],做三件事
    • 遍历ai行的所有元素M[ai,aj],M[ai,aj]作为行坐标,去取ak列上的element,即M[M[ai,aj],ak]
    • 遍历ak列的所有元素M[aj,ak],M[aj,ak]作为列坐标,去取ai行上的element,即M[ai,M[aj,ak]]
    • 让M[M[ai,aj],ak] = M[ai,M[aj,ak]], 即红色部分相等
  3. 单位元:ai+e=e+ai=ai
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    存在某元素ai,它的ai行是[a1..an],它的ai列是[a1..an]
    其实就是在西北-东南对角线上,存在一个元素ai,此元素的行列坐标值均为ai,并且此元素的行和列均为[a1..an]
  4. 可逆率:ai+aj=aj+ai=e
    可逆率假设了单位元的存在,所以有4的前提是有3成立,假设单位元是a2
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    矩阵中存在7个元素,他们既不在同行上,也不在同列上,但他们的值都是a2。
    其实就是每行或每列至少有个单位元。
  5. 交换率:ai+aj=aj+ai,就是对角线的元素要相等
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  6. 分配律
    由于这个率涉及到加法和乘法,需要画两个矩阵
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