域F建立在环R的基础上,其实是建立在无零因子环,除环和整环的基础上。

上节讨论的环无论+和*,集合都是R,而本节讨论*时,他的集合是R-{0},即剔掉+的单位元0。

先看无零因子环的定义

  • 无零因子环,如果对于*,R-{0}满足2个前提(封闭,结合)

再看除环和整环的定义

  • 整环,如果对于*,R-{0}满足4个前提(封闭,结合,单位元,交换
  • 除环,如果对于*,R-{0}满足4个前提(封闭,结合,单位元,可逆

最后是域的定义是

  • 域,如果对于*,R-{0}满足5个前提(封闭,结合,单位元,交换可逆

所以我们有以下断语

  • 除环和整环都是无零因子环
  • 可交换的除环称为域
  • 可逆的整环称为域
  • 域属于整环,属于除环

如果域的元素是有限的,称为有限域。

用图表示如下:

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